2010广州中考数学试题及参考答案、详细知识点分析

作者：佚名 信息来源：本站原创 更新时间：2011-1-17

24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.

【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；

（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；

（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝3，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为24．

【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．

（2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；

（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴

＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．

∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．

又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝3，

∴△ABC的周长为24．

      【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积

【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题

【推荐指数】★★★★★

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